Topics in Algebra 2.3.4

Problem

If $G$ is a group in which $\forall a,~b\in G\,:\,\left(a\cdot b \right )^i=a^i\cdot b^i$ for three consecutive integers $i$, show that $G$ is abelian

Solution

Lemma

$a\cdot b^i=b^i \cdot a$ ($a$와 $b^i$가 commutative propery를 가진다.

일단 3개의 연속된 숫자라는 사실에 주목을 하자.

이를 활용하기 위해 $\left(a\cdot b \right )^{-1}\cdot\left(a\cdot b \right )^i\cdot\left(a\cdot b \right )$라는 식을 생각하자.

군의 특성에 의해 결합법칙이 성립하므로 앞의 식부터 처리하면

$\begin{aligned}
&\left(a\cdot b \right )^{-1}\cdot\left(a\cdot b \right )^i\\
&=b^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^i\cdot b^i\\
&=b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i
\end{aligned}$

이 되고, 뒤의 $\left(a\cdot b\right)$까지 붙여주면 $b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i\cdot \left(a\cdot b \right )$

관점을 바꾸어서 뒤의 식부터 처리하면

$\begin{aligned}
&\left(a\cdot b \right )^{-1}\cdot a^{i+1} \cdot b^{i+1}\\
&=b^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{i+1}\cdot b^{i+1}\\
&=b^{-1}\cdot a^i\cdot b^{i+1}
\end{aligned}$

두 식이 같아야 하므로 $b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i\cdot \left(a\cdot b \right )=b^{-1}\cdot a^i\cdot b^{i+1}$이고, 양변의 좌측에 $\left(a^{i-1} \right )^{-1}\cdot b$를 취해주면 $b^i\cdot \left(a\cdot b \right )=a\cdot b^{i+1}$이다.

마지막으로 양변의 우측에 $b^{-1}$을 취해주면 $b^i \cdot a=a\cdot b^i$가 완성이 된다.

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이제 $a\cdot b$에 대해 생각하자.

$\begin{aligned}
&a\cdot b\\
=&\left\{ \left(a\cdot b \right )^{i-1}\right \}^{-1}\cdot \left(a\cdot b \right )^i\\
=&\left(b^{i-1} \right )^{-1}\cdot\left(a^{i-1} \right )^{-1}\cdot a^i\cdot b^i\\
=&\left(b^{i-1} \right )^{-1}\cdot a\cdot b^i\\
=&\left(b^{i-1} \right )^{-1}\cdot b^i\cdot a\qquad \cdots\cdots\quad \text{By Lemma}\\
=&\ b\cdot a
\end{aligned}$

따라서, $G$는 Abelian group 이다.