[ Linear Algebra ] 푸리에 계수, 직교 여공간

이전에 진행했었던 Gram-Schmidt Process에 이어 이번 시간엔 푸리에 계수, 직교 여집합에 대해 소개해보려 한다.

푸리에 계수 같은 경우 추후에 자세히 진행할 예정이므로 간단하게 맛만 보고, 직교 여집합과 그의 정리에 포커스를 맞추어 진행할 예정이다.

Definition of Fourier coefficient

$\mathsf{V}$를 내적공간이라 하고, $\beta \subseteq \mathsf{v}$을 정규직교집합이라 하고, $x\in \mathsf{V}$라 하자. 이 때, $\beta$에 대한 $x$의 푸리에 계수를 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{\forall }y\in \beta :⟨x,y⟩$

푸리에 계수는 정의에 대한 언급 밖에 없어서 추후 챕터에 나오면 그 때 다시 서술하겠다.

이제 직교 여집합에 대해 알아보자.

Definition of orthogonal complement

$\mathsf{V}$을 내적공간이라 하고, $S$를 $\mathsf{V}$의 부분집합이라 하자. (단, $S\ne \mathrm{\varnothing }$)

이 때, 직교 여집합 $S^{\perp }$을 다음과 같이 정의한다.

$S^{\perp }=\{x\in \mathsf{V}:⟨x,y⟩\text{for all }y\in S\}$

이 때, $S^{\perp }$의 정의에서 볼 수 있듯이, $S$랑 $S^{\perp }$ 모두 $\mathsf{V}$의 부분집합이다.

또한, 내적의 정의에서 $\mathrm{\forall }x\in \mathsf{V}:⟨x,\mathit{0}⟩=0$이므로, ${\left\{\mathit{0}\right\}}^{\perp }=\mathsf{V}$이고, 반대로 ${\mathsf{V}}^{\perp }=\left\{\mathit{0}\right\}$이 됨을 알 수 있다.

이러한 직교 여공간은 언제 쓰면 좋을까?