Topics in Algebra 2.3.4

Problem

If $G$ is a group in which $\mathrm{\forall }a,b\in G:{(a\cdot b)}^i=a^i\cdot b^i$ for three consecutive integers $i$, show that $G$ is abelian

Solution

Lemma

$a\cdot b^i=b^i\cdot a$ ($a$와 $b^i$가 commutative propery를 가진다.

일단 3개의 연속된 숫자라는 사실에 주목을 하자.

이를 활용하기 위해 ${(a\cdot b)}^{-1}\cdot {(a\cdot b)}^i\cdot (a\cdot b)$라는 식을 생각하자.

군의 특성에 의해 결합법칙이 성립하므로 앞의 식부터 처리하면

$\begin{array}{rl}& {(a\cdot b)}^{-1}\cdot {(a\cdot b)}^i\\ & =b^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^i\cdot b^i\\ & =b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i\end{array}$

이 되고, 뒤의 $(a\cdot b)$까지 붙여주면 $b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i\cdot (a\cdot b)$

관점을 바꾸어서 뒤의 식부터 처리하면

$\begin{array}{rl}& {(a\cdot b)}^{-1}\cdot a^{i+1}\cdot b^{i+1}\\ & =b^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{i+1}\cdot b^{i+1}\\ & =b^{-1}\cdot a^i\cdot b^{i+1}\end{array}$

두 식이 같아야 하므로 $b^{-1}\cdot a^{i-1}\cdot b^i\cdot (a\cdot b)=b^{-1}\cdot a^i\cdot b^{i+1}$이고, 양변의 좌측에 ${\left(a^{i-1}\right)}^{-1}\cdot b$를 취해주면 $b^i\cdot (a\cdot b)=a\cdot b^{i+1}$이다.

마지막으로 양변의 우측에 $b^{-1}$을 취해주면 $b^i\cdot a=a\cdot b^i$가 완성이 된다.

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이제 $a\cdot b$에 대해 생각하자.

$\begin{array}{rl}& a\cdot b\\ =& {\left\{{(a\cdot b)}^{i-1}\right\}}^{-1}\cdot {(a\cdot b)}^i\\ =& {\left(b^{i-1}\right)}^{-1}\cdot {\left(a^{i-1}\right)}^{-1}\cdot a^i\cdot b^i\\ =& {\left(b^{i-1}\right)}^{-1}\cdot a\cdot b^i\\ =& {\left(b^{i-1}\right)}^{-1}\cdot b^i\cdot a\cdots \cdots \text{By Lemma}\\ =& b\cdot a\end{array}$

따라서, $G$는 Abelian group 이다.