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Problem 1.2.1 원점, $\bar{x}$, $\bar{y}$이 있을 때, $\lVert \bar{x}-\bar{y}\rVert\leq \lVert\bar{x}\rVert+\lVert\bar{y}\rVert$임을 증명하라. Hint. Cauchy–Schwarz inequality를 사용하라 더보기 $a>0$, $b>0$이고 $a^2>b^2$이면 $a>b$이 성립함을 이용하자. $\lVert \bar{x}-\bar{y}\rVert>0$이고 $\lVert\bar{x}\rVert>0$, $\lVert\bar{y}\rVert>0$이므로 norm의 정의를 활용하기 위해 양변을 제곱하여 비교하자. $\begin{aligned} \lVert \bar{x}-\bar{y}\rVert^2&=\left( \bar{x..

이전에 진행했었던 Gram-Schmidt Process에 이어 이번 시간엔 푸리에 계수, 직교 여집합에 대해 소개해보려 한다.푸리에 계수 같은 경우 추후에 자세히 진행할 예정이므로 간단하게 맛만 보고, 직교 여집합과 그의 정리에 포커스를 맞추어 진행할 예정이다.Definition of Fourier coefficient$\mathsf{V}$를 내적공간이라 하고, $\beta\subseteq\mathsf{v}$을 정규직교집합이라 하고, $x\in \mathsf{V}$라 하자. 이 때, $\beta$에 대한 $x$의 푸리에 계수를 다음과 같이 정의한다.$\forall y\in\beta~:~\left$ 푸리에 계수는 정의에 대한 언급 밖에 없어서 추후 챕터에 나오면 그 때 다시 서술하겠다.이제 직교 여집합에 ..

Definition of orthonormal basis$\mathsf{V}$를 내적 공간이라 하자. 이 때, $\beta\subseteq\mathsf{V}$가 다음 두 조건을 만족 할 때, 정규직교 기저라고 한다. ① $\beta$가 정규직교여야 한다.② $\beta$가 ordered basis여야 한다.여기서, 정규직교는 다음 두 조건을 모두 만족하는 집합을 의미한다.$\forall v_i,~v_j\in\mathsf{V}:\left=\begin{cases}1 & \left( i=j \right )\\0 & \left(i\neq j \right )\end{cases}$Theorem 6.3$\mathsf{V}$를 내적공간이라 하고, $S=\left\{v_1,~v_2,\cdots,~v_k\right\}\s..